Pisagor’u Şaşırtan Tablet: Üçgenlerin Gerçek Sırrı Mezopotamya’da mı Saklıydı?

1. Hikâyenin Çıkış Noktası: Kil Tabletler ve “Modern Gözle” Okuma

Elimizde iki kritik veri türü var:

A. MÖ yaklaşık 1800–1600 arasına tarihlenen Eski Babil tabletleri

B. Bu tabletlerin üzerinde yer alan, bugün bizim “Pisagor üçlüleri” ve “irrasyonel sayılar” dediğimiz kavramlara son derece yakın ifadeler.

Bu tabletler, uzun yıllar boyunca epigraflar ve Asurologlar tarafından daha çok dil ve tarih açısından incelendi. Ancak son on–yirmi yılda, matematiksel içerikleri modern matematik gözüyle yeniden okundu. Sonuç şu:

Babilliler, dik üçgenin kenarları arasındaki bağıntıyı çok iyi biliyorlar.

Bugün bizim “” diye yazdığımız ilişkiyi, kendi sayı sistemleri içinde çok hassas biçimde kullanıyorlar.

Daha da çarpıcı olanı,  gibi irrasyonel bir büyüklüğü, şaşırtıcı bir doğrulukla hesaplayabiliyorlar.

Bu noktada klasik soru şu:

> O hâlde bu teorem neden hâlâ “Pisagor Teoremi” adını taşıyor?

Buna geleceğiz. Önce, Babil matematiğinin nasıl bir sayı sistemine sahip olduğuna kısaca bakalım.

2. Babil Sayı Sistemi: 60 Tabanlı Matematik

Eski Babil uygarlığı, 60 tabanlı (seksagesimal) bir sayı sistemi kullanıyordu. Bu sistemin izlerini bugün hâlâ günlük yaşamda taşıyoruz:

1 dakika = 60 saniye

1 saat = 60 dakika

Bir tam açı = 360 derece (6×60)

Bu 60 tabanlı yapı, kesirli sayılarla işlem yapmayı bizim onluk sistemimize göre bazı durumlarda daha pratik hâle getiriyordu. Özellikle de trigonometrik ilişkiler, oranlar ve karekökler söz konusu olduğunda, 60 tabanlı gösterimler, düzgün kesirleri daha rahat ifade etme imkânı sağlıyordu.

Babil bakanlığının (!) – hayır, şaka bir yana – BabiI bilginlerinin elinde:

Kare ve karekök tabloları,

Çarpım tabloları,

Oran hesaplama listeleri,

gibi, adeta erken dönem “matematik el kitapları” bulunuyordu. Bu tablolar, arazi ölçümlerinden mimariye, ticaretten astronomiye kadar geniş bir alanda kullanılıyordu.

3. Pisagor Teoremi’nden Çok Önce “Pisagorcu” Üçlüler

Bugün Pisagor üçlüleri dediğimiz , ,  gibi tam sayı üçlüleri, Babil tabletlerinde açıkça karşımıza çıkıyor.

Bu üçlüler, dik açılı üçgenin iki dik kenarı ve hipotenüsü arasındaki ilişkiyi ister istemez ima ediyor:

a^2 + b^2 = c^2

Her ne kadar tabletlerde bu bağıntı “soyut bir teorem” olarak formüle edilmemiş olsa da, tablo yapıları ve verilen sayılar, Babillilerin bu ilişkiyi sistematik biçimde kullandığını gösteriyor.

Örneğin bir tablette (ünlü Plimpton 322 tabletini anımsatan yapılarda), sütunlarda şu tarz sayılar sıralanıyor:

Bir sütunda hipotenüse karşılık gelen uzunluk,

Diğer sütunda dik kenarlardan biri,

Yan sütunlarda kareleri veya oranları.

Modern matematik terminolojisiyle ifade edecek olursak, bu tabletler adeta “Pisagor üçlüleri kataloğu” gibi görünüyor.

Bu noktada kritik ayrım şu:

Babilliler için bu, geometrik bir ispatı yapılmış soyut bir teorem olmaktan ziyade,

Pratik hesaplamalarda kullanılan, iyi bilinen bir aritmetik ilişki idi.

Pisagor ve sonrası ise, bu ilişkiyi, Eukleides geometrisinin içinde aksiomatik–dedüktif bir çerçeveye oturttu.

4.  ve İrrasyonel Sayıya Doğru Sessiz Bir Yolculuk

Haberde geçen önemli noktalardan biri de, bir tablette yer alan iki sayısının karekökü () için verilen yaklaşık ifade.

Babil tabletlerinden birinde, 60 tabanlı biçimde yazılmış şu değer karşımıza çıkar (burada onluk sisteme çevirerek ifade ediyorum):

\sqrt{2} \approx 1,414213...

Babillilerin verdiği yaklaşık değer, modern değere göre son derece hassastır ve virgülden sonra birkaç haneye kadar doğru bir yaklaşım sunar. Bu ise en az iki şeyi gösterir:

A. Babilliler, karekök alma işlemini sistematik biçimde biliyorlardı.

B. Bu işlem, soyut bir sayı kavrayışı gerektiriyordu; yalnızca “tam sayılar”la yetinmeyen, oranlar ve kesirleri etkin kullanan bir matematiksel zihin dünyası söz konusuydu.

Elbette, modern anlamda “irrasyonel sayı” kavramı – yani “rasyonel sayı olarak ifade edilemeyen gerçek sayılar” – Yunan matematik geleneğinde, özellikle de Eukleides’in Elementler’inde, çok daha açık bir şekilde kavramsallaştırıldı. Ancak karekök hesaplarının bu hassasiyeti, Babillilerin en azından aritmetik düzeyde irrasyonel niceliklerle içli dışlı olduklarını gösteriyor.

5. Öyleyse Neden “Pisagor Teoremi” Diyoruz?

Burada işin matematiksel kısmından biraz çıkıp, bilim tarihinin sosyolojisine girmek gerekiyor.

Teoremin adı, çoğu zaman:

İlk keşfeden kişiye değil,

Teoremi sistematikleştiren, öğreten veya sonraki kültürler üzerinde en fazla etki bırakan kişiye atfediliyor.

Pisagor özelinde:

Pisagor ve Pisagorcular, geometriyi sayı mistisizmiyle birleştiren bir okuldu.

Onlar için “her şey sayıdır” ilkesi, hem metafizik hem de geometrik bir iddiaydı.

Dik üçgen bağıntısı, Pisagorcuların sayılar ve oranlar üzerine kurduğu dünya görüşünde merkezi bir rol oynadı.

Üstelik, Pisagor’un orijinal eserleri günümüze ulaşmadı. Teoremin ona atfedilmesi, büyük oranda sonraki Yunan yazarların ve Eukleides geleneğinin bir sonucudur. Bu, şu anlama geliyor:

Pisagor Teoremi, icattan çok “kanonlaşmış etki”nin adı hâline geldi.

Teorem, Batı matematik geleneğinde Pisagor etiketiyle öğretildiği için, isim bu şekilde kaldı.

Bugün tarihçiler arasında giderek güçlenen görüş şu:

> “Pisagor Teoremi”, çok daha eski kültürlerin, özellikle de Eski Mezopotamya’nın pratik bilgisi üzerine inşa edilmiş; fakat Yunan matematiği içinde aksiyomatik olarak sistemleştirilmiş bir ilişkidir.

6. Matematik Tarihini Yeniden Yazmak Değil, Derinleştirmek

Bu noktada şunu vurgulamak önemli:

Amaç Pisagor’u “tahttan indirmek” değildir.

Tam tersine, matematiğin tarihini daha dürüst, daha kapsayıcı ve daha derinlikli şekilde anlamaya çalışıyoruz.

Pisagor ve sonrası, ispat kavramını,

Eukleides, aksiyomatik sistemi,

Archimedes, sonsuz küçükler ve integral düşüncesini,

farklı bir düzeye taşıdı. Fakat bunların hiçbiri, boş bir sayfada sıfırdan başlamadı.

Eski Mezopotamya, Mısır ve diğer erken uygarlıklar:

Büyük toprak ölçümleri,

Karmaşık ticaret hesapları,

Astronomik gözlemler,

gibi gerekçelerle ciddi bir aritmetik–geometrik bilgi birikimi geliştirmişlerdi.

Bugün elimizdeki kil tabletler, bu birikimin yalnızca küçük bir kısmını temsil ediyor olabilir.

Dolayısıyla, bu yeni okumalar bize iki şeyi hatırlatmaktadır:

A. Matematik lineer bir “Yunan mucizesi” hikâyesi değildir.

B. Farklı uygarlıkların görünmez katkıları, modern matematiğin zeminini oluşturmaktadır.

7. “Eski Bilgi” – “Modern Teori” Ayrımı: Matematiksel Bir Bakış

Bir matematikçi açısından bakıldığında, burada çok kritik bir ayrım vardır:

Operasyonel bilgi:

“Bu oran şu ölçümde işe yarıyor, şu üçlülerle araziyi düzgün bölebiliyoruz” gibi, pratik ve deneyimsel bilgi.

Teorik–aksiyomatik bilgi:

“Her dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir” gibi, genel, soyut bir ifade ve bunun ispatı.

Babil tabletleri bize diyor ki:

> “Biz operasyonel bilgiye sahiptik; dik üçgenlerde işe yarayan sayıları, karekökleri, oranları biliyorduk.”

Pisagor ve Eukleides’in mirası ise şöyle diyor:

> “Biz bu operasyonel bilgiyi, sistematik ve soyut bir teoriye dönüştürdük; ispatı formel çerçeveye oturttuk.”

Bugün matematik eğitimi hâlâ büyük ölçüde Yunan aksiyomatik geleneğinin çizdiği çerçevede yürütülüyor. Ancak tarihsel menzili genişlettiğimizde, bu çerçevenin altındaki toprakta Babil, Mısır, Hint, Çin ve İslam dünyasından birçok kök bulunduğunu görmeye başlıyoruz. 

8. Babil Tabletlerinin Günümüze Mesajı: Matematik Küresel Bir Miras

Mezopotamya tabletlerine ilişkin bu bulgular, yalnızca matematik tarihinin teknik detaylarını güncellemekle kalmıyor; daha geniş bir zihinsel dönüşüm de teklif ediyor:

1. Bilginin coğrafyası çeşitlidir.

Matematiğin “tekel” bir medeniyete ait olmadığını, coğrafyalar arası dolaşan bir miras olduğunu görmemizi sağlıyor.

2. İsimlendirme ile sahiplik aynı şey değildir.

Bir teoremin adının bir kişiye ait olması, onun tarihteki tek ya da ilk üreticisi olduğu anlamına gelmez.

3. Modern bilim, eski metinleri yeniden okudukça kendi köklerini daha iyi tanıyor.

Tabletlerin yeniden incelenmesi, yalnızca geçmişi değil, bilimin kendi öz–eleştirisini de derinleştiriyor.

9. Sonuç: Pisagor Teoremi’ni Yeniden Adlandırmalı mıyız?

Sıklıkla sorulan provokatif soru şu:

> “Artık buna Pisagor Teoremi demeyelim, Babil Teoremi diyelim mi?”

Bir matematikçi olsam yanıtım şu olurdu:

İsimler, alışkanlık ve tarihsel kanon ürünüdür; bir günde değişmeleri zordur.

Ancak derslerde, kitaplarda, popüler bilim yazılarında şu cümleyi kurmak mümkündür ve bence kurulmalıdır:

> “Pisagor Teoremi diye bildiğimiz ilişki, Eski Babil tabletlerinde Pisagor’dan en az 1000 yıl önce pratik olarak kullanılmıştır; Pisagor ve Yunan matematiği, bu ilişkiyi sistematik ve teorik bir çerçeveye kavuşturmuştur.”

Bu cümleyi yaygınlaştırmak, hem tarihsel adalete hem de bilimsel dürüstlüğe katkıdır.

Kapanış

Eski Mezopotamya’ya ait bir kil tablet, bugün elimizde tuttuğumuz cetvel ve hesap makinesine çok uzak görünebilir. Oysa o tabletin üzerindeki rakamlar, çizgiler ve işaretler, bugünkü matematiğin sessiz atalarıdır.

Pisagor teoremi, bir kişinin ani ilhamından doğmuş tekil bir “zeka patlaması” değil; yüzyıllar boyunca biriken pratik bilgilerin, farklı uygarlıklardan süzülerek teorik bir isme kavuşmuş hâlidir.

Belki de bu nedenle, bir matematikçi için bu tabletlerin en önemli mesajı şudur:

> Matematik, insanlığın ortak dilidir;

cisimleri değil, kültürleri aşan bir hafızaya sahiptir.

Ve o hafızanın sayfalarından biri, kurumuş kilin üzerine, Mezopotamya güneşi altında çoktan yazılmıştı.